Главная → Математика → ЕГЭ по математике (профильный уровень) → Вариант 1

#1101

ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Вариант 1

Часть 1

Площадь параллелограмма ABCD равна 28. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.

$Параллелограмм ABCD. Трапеция BCDE.$

Ответ:

Даны векторы $\vec{a}$ (2; 1) и $\vec{b}$ (2; − 4). Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ + $\vec{b}$ и 7 $\vec{a}$ − $\vec{b}$ .

Ответ:

Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны 2. Найдите объём параллелепипеда.

$Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед.$

Ответ:

Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Ротор» по очереди играет с командами «Статор», «Стартёр» и «Мотор». Найдите вероятность того, что «Ротор» будет начинать с мячом только вторую игру. Укажите ответ в процентах.

Ответ:

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,5. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. Укажите ответ в процентах.

Ответ:

Найдите корень уравнения log₅ (20 − x) = 2.

Ответ:

Найдите значение выражения 6cos2α, если sinα = − 0,8.

Ответ:

На рисунке изображён график y = f '( x ) — производной функции f ( x ). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции f ( x )?

$На рисунке изображён график...$

Ответ:

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью v₀ = 60 км/ч , выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a = 32 км/ч². Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле S = v₀t + $\frac{a t^{2}}{2}$ , где t — время (в часах), прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 154 км. Ответ дайте в минутах.

Ответ:

Один мастер может выполнить заказ за 42 часа, а другой — за 21 час. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?

Ответ:

На рисунке изображены графики функций $f (x) = a \sqrt[]{x}$ и g ( x ) = kx, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

$На рисунке изображены графики функций...$

Ответ:

Найдите точку минимума функции y = (8x² − 40x + 40)e^{x + 4}.

Ответ:

Часть 2

а) Решите уравнение

2sin²x + $\sqrt[]{2}$ sin(2π − x) + $\sqrt[]{3}$ sin 2x = $\sqrt[]{6}$ cos x.

Ответ:

1) x =

\frac{π}{4} + 2πk

, k ∈ Z
2) x =

− \frac{π}{4} + πk ,  k ∈ Z

3) x =

\frac{3π}{4} + 2πk

, k ∈ Z
4) x =

− \frac{π}{3} + πk ,  k ∈ Z

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[- π; \frac{π}{2}]$ .

Ответ:

1) x =

\frac{π}{4}

2) x =

− \frac{π}{4}

3) x =

\frac{3π}{4}

4) x =

− \frac{π}{3}

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ известно, что AB = 2. Плоскость α проходит через вершины A₁ и B и середину M ребра CC₁.

а) Докажите, что сечение призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью α является равнобедренным треугольником (выберите суждения, которые могут помочь в доказательстве).

Ответ:

1) BC = CM
2) ∠BCM = 90°
3) ∠MC₁A₁ = 90°
4) sin ∠CBM = 0,5
5) C₁M = A₁C₁
6) A₁C₁ = BC
7) C₁M = CM

б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью α равна 6.

Ответ:

6

\sqrt[]{29}

2 \sqrt[]{11}

3 \sqrt[]{6}

4 \sqrt[]{3}

7

Решите неравенство $7 {log}_{12} (x^{2} - 13 x + 42) \leq 8 + {log}_{12} \frac{{(x - 7)}^{7}}{x - 6}$ .

Ответ:

Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны (0,5x² + 2x + 6) млн рублей в год. Если продукцию завода продавать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px − (0,5x² + 2x + 6). Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не больше чем за 3 года?

Ответ:

Сумма оснований трапеции равна 13, а её диагонали равны 5 и 12.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны (выберите пункты, которые могут помочь в доказательстве).

Ответ:

1) диагонали квадрата равны и взаимно перпендикулярны
2) сумма углов пятиугольника равна 540°
3) обратная теорема Пифагора
4) sin 30° = 0,5
5) противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны
6) в равнобедренном треугольнике высота является медианой и биссектрисой

б) Найдите высоту трапеции.

Ответ:

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x⁴ + (a − 3)² = | x − a + 3 | + | x + a − 3 |
либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

Ответ:

1) a ≤ 1
2) a = 3
3) a < 3
4) a > 3
5) a ≥ 5

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех и других юношей было не меньше двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.

а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?

Ответ:

б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?

Ответ:

в) Пусть все девушки получили попарно различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?

Ответ:

© «Учка.РФ», 2025-2026. Подготовка к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР по математике, русскому языку, физике. Тренировочные варианты ЕГЭ, ОГЭ, ВПР.
Обратная связь