Главная → Математика → ЕГЭ по математике (профильный уровень) → Вариант 10

#1110

ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Вариант 10

Часть 1

Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

$Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.$

Ответ:

Даны векторы $\vec{a}$ (3; 5) и $\vec{b}$ (0; 2). Найдите длину вектора 2 $\vec{a}$ − $\vec{b}$ .

Ответ:

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна $9 \sqrt{2}$ . Найдите радиус сферы.

$Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса.$

Ответ:

На конференцию приехали учёные из трёх стран: 3 из Дании, 4 из Венгрии и 3 из Болгарии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что седьмым окажется доклад учёного из Болгарии.

Ответ:

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,18. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

Ответ:

Найдите корень уравнения log₈(5x + 47) = 3.

Ответ:

Найдите значение выражения $25^{2 \sqrt{8} + 3} \cdot 5^{- 3 - 4 \sqrt{8}}$ .

Ответ:

На рисунке изображены график функции y = f ( x ) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f ( x ) в точке x₀.

$На рисунке изображены график функции...$

Ответ:

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f₀ = 295 Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза v (в м/с) и изменяется по закону $f (v) = \frac{f_{0}}{1 - \frac{v}{c}}$ (Гц), где c — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а c = 300 м/с. Ответ дайте в м/с.

Ответ:

Смешав 40%-й и 90%-й растворы кислоты и добавив 10 кг воды, получили 50%-й раствор. Если бы вместо воды добавили 10 кг 60%-го раствора, то получили бы 70%-й раствор. Сколько кг 40%-го раствора использовали?

Ответ:

На рисунке изображён график функции вида f ( x ) = a^x. Найдите значение f (5).

$На рисунке изображён график функции вида...$

Ответ:

Найдите точку максимума функции y = x³ + 27x² + 11.

Ответ:

Часть 2

а) Решите уравнение
log₃(x² − 2x) = 1.

Ответ:

х₁ =
х₂ =

б) Укажите корень этого уравнения, принадлежащий отрезку [log₂0,4; log₂5].

Ответ:

Радиус основания конуса с вершиной P равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки A и B, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:3. Центр основания конуса обозначен точкой O.

а) Докажите, что ∠APB меньше 60 ° (выберите суждения, которые могут помочь в доказательстве).

Ответ:

1) дуга AB составляет треть окружности основания
2) ∠AOB = 120°
3) ∠AOB = 90°
4) треугольник APB правильный
5) AB =

9 \sqrt{2}

6) AB =

6 \sqrt{2}

7) в равнобедренном треугольнике APB основание меньше боковой стороны

б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP.

Ответ:

11 \sqrt[]{7}

12 \sqrt[]{7}

13 \sqrt[]{7}

8 \sqrt[]{14}

9 \sqrt[]{14}

10 \sqrt[]{14}

Решите неравенство $7^{- | x - 3 |} \cdot \log_{2} (6 x - x^{2} - 7) \geq 1$ .

Ответ:

Иван мечтает о собственной квартире, которая стоит 3 млн руб. Иван может купить ее в кредит, при этом банк готов выдать эту сумму сразу, а погашать кредит Ивану придется 20 лет равными ежемесячными платежами, при этом ему придется выплатить сумму, на 180% превышающую исходную. Вместо этого, Иван может какое-то время снимать квартиру (стоимость аренды — 15 тыс. руб. в месяц), откладывая каждый месяц на покупку квартиры сумму, которая останется от его возможного платежа банку (по первой схеме) после уплаты арендной платы за съемную квартиру. За какое время в этом случае Иван сможет накопить на квартиру, если считать, что стоимость ее не изменится?

Ответ:

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность (выберите пункты, которые могут помочь в доказательстве).

Ответ:

1) используем теорему Пифагора
2) используем теорему Птолемея
3) cos∠ABC =

- \frac{1}{2}

4) cos∠ABC =

- \frac{\sqrt{2}}{2} 5) cos∠

ADC =

\frac{1}{2}

6) cos∠ADC =

\frac{\sqrt{2}}{2} // Получаем все чекбоксы и поле ввода
const checkboxes17 = document.querySelectorAll('.checkbox17');
const inputField17 = document.getElementById('inputField17');

// Обработчик изменения состояния чекбоксов
checkboxes17.forEach(checkbox17 => {
  checkbox17.addEventListener('change', function() {
    const selectedValues = Array.from(checkboxes17)
      .filter(cb => cb.checked)
      .map(cb => cb.value);

    // Формируем строку из выбранных значений
    inputField17.value = selectedValues.join(';');
  });
});

б) Найдите BD. Представьте результат в виде несократимой обыкновенной дроби. Для записи дробного числа в ответе используйте слэш (/). Ответ:

18 Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение

\log_{1 - x} (a - x + 2) = 2

имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [−1; 1).

Ответ:

(- ∞; - \frac{5}{4})

[- \frac{5}{4}; −1)

3) {−1}
4) (−1; 1)
5) {1}
6) (1; +∞)

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3).

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?

Ответ:

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?

Ответ:

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123. В ответе запишите любое одно из этих чисел.

Ответ:

© «Учка.РФ», 2025-2026. Подготовка к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР по математике, русскому языку, физике. Тренировочные варианты ЕГЭ, ОГЭ, ВПР.
Обратная связь