Главная → Математика → ЕГЭ по математике (профильный уровень) → Вариант 2

#1102

ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Вариант 2

Часть 1

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Угол BAC равен 32°. Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ . Найдите скалярное произведение $\vec{a}$ ⋅ $\vec{b}$ .

$На координатной плоскости изображены векторы.$

Ответ:

В первом цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. Эту жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза больше диаметра основания первого. На какой высоте будет находиться уровень жидкости во втором сосуде? Ответ дайте в сантиметрах.

$В первом цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. Эту жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза больше диаметра основания первого.$

Ответ:

В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. Только в двух билетах встречается вопрос о грибах. На экзамене выпускнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете будет вопрос о грибах. Укажите ответ в процентах.

Ответ:

Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало 3 очка»?

Ответ:

Найдите корень уравнения 3^{x − 5} = 81.

Ответ:

Найдите sin2α, если cosα = 0,6 и π < α < 2π.

Ответ:

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f ( x ). На оси абсцисс отмечены девять точек: x₁, x₂, ... x₉.

$На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f ( x ).$

Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции f ( x ) отрицательна. В ответе укажите количество этих точек.

Ответ:

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением

v = c ⋅ $\frac{f - f_{0}}{f + f_{0}}$ ,

где c = 1500 м/с – скорость звука в воде, f₀ – частота испускаемого сигнала (в МГц), f – частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.

Ответ:

Весной катер идёт против течения реки в 1 $\frac{2}{3}$ раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в 1 $\frac{1}{2}$ раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

Ответ:

На рисунке изображён график функции вида f ( x ) = ax² + bx + c, где числа a, b и c — целые. Найдите значение f (−12).

$На рисунке изображён график функции вида f ( x )...$

Ответ:

Найдите наименьшее значение функции

y = 9x − 9 ln ( x + 11 ) + 7

на отрезке [−10,5; 0].

Ответ:

Часть 2

а) Решите уравнение

2sin (x + \frac{π}{3}) + \cos 2 x = \sqrt[]{3} \cos x + 1.

Ответ:

1) x =

πk

, k ∈ Z
2) x =

− \frac{π}{3} + πk ,  k ∈ Z

3) x =

\frac{π}{6} + 2πk

, k ∈ Z
4) x =

\frac{5π}{6} + 2πk ,  k ∈ Z

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

[- 3π; - \frac{3π}{2}] .

Ответ:

1) x = − 3π
2) x =

− \frac{7π}{3}

3) x = − 2π
4) x =

− \frac{11π}{6}

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 5 $\sqrt[]{2}$ .

а) Докажите, что BD = CD (выберите суждения, которые могут помочь в доказательстве).

Ответ:

1) Все три угла равностороннего треугольника равны друг другу и составляют по 60°.
2) Используем принцип Дирихле.
3) Внешний угол треугольника равен сумме двух не смежных с ним внутренних углов.
4) Если у двух прямоугольных треугольников равны один катет и гипотенуза, то они равны.
5) Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
6) В равнобедренном треугольнике медиана является биссектрисой и высотой.

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM : MA = DN : NC = 2 : 3 . Найдите площадь сечения MNB.

Ответ:

6

\sqrt[]{29}

2 \sqrt[]{11}

3 \sqrt[]{6}

4 \sqrt[]{3}

7

Решите неравенство
log₁₁(8x² + 7) − log₁₁(x² + x + 1) ≥ log₁₁ $(\frac{x}{x + 5} + 7)$ .

Ответ:

1) [12; ∞)
2)

[0 ; \frac{35}{8})

[0 ; \frac{27}{7})

(- \frac{27}{7}; 0]

(- \frac{35}{8}; 0]

6) (−∞ ; −12]

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на r % по сравнению с концом предыдущего года (r – целое число);
– с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– в июле 2030 года долг должен составить 200 тыс. рублей;
– в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите r.

Ответ:

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй – в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны (выберите пункты, которые могут помочь в доказательстве).

Ответ:

1) sin 30° = 0,5
2) свойство медианы прямоугольного треугольника
3) AD ⊥ AB
4) BC ⊥ AB
5) теорема Пифагора
6) свойство отрезков касательных

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Ответ:

Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система

(|x| − 5)² + (y − 4)² = 9,
(x + 2)² + y² = a²

имеет единственное решение.

Ответ:

1) a ≤ 2
2) a = 2
3) a =

\sqrt[]{56}

+ 4
4) a =

\sqrt[]{65}

+ 3
5) a ≥ 2

Из пары натуральных чисел (a; b), где a > b, за один ход получают пару (a + b; a − b).

а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100; 1) пару, большее число в которой равно 400?

Ответ:

б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100; 1) пару (806; 788)?

Ответ:

в) Какое наименьшее a может быть в паре (a; b), из которой за несколько ходов можно получить пару (806; 788)?

Ответ:

© «Учка.РФ», 2025-2026. Подготовка к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР по математике, русскому языку, физике. Тренировочные варианты ЕГЭ, ОГЭ, ВПР.
Обратная связь