Главная → Математика → ЕГЭ по математике (профильный уровень) → Вариант 3

#1103

ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Вариант 3

Часть 1

Площадь треугольника ABC равна 24; DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь треугольника CDE.

Ответ:

Даны векторы $\vec{a}$ (1; 2), $\vec{b}$ (−3; 6) и $\vec{c}$ (4; −2).

Найдите длину вектора $\vec{a}$ − $\vec{b}$ + $\vec{c}$ .

Ответ:

Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

$Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру.$

Ответ:

Вероятность того, что мотор холодильника прослужит более 1 года, равна 0,8, а вероятность того, что он прослужит более 2 лет, равна 0,6. Какова вероятность того, что мотор прослужит более 1 года, но не более 2 лет?

Ответ:

В городе 48% взрослого населения – мужчины. Пенсионеры составляют 12,6% взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15%. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».

Ответ:

Найдите корень уравнения $\sqrt[]{3 x + 49} = 10$ .

Ответ:

Найдите значение выражения ${16 log}_{7} \sqrt[4]{7}$ .

Ответ:

На рисунке изображены график функции y = f ( x ) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f ( x ) в точке x₀.

$На рисунке изображены график функции y = f ( x ) и касательная к нему.$

Ответ:

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса m уменьшается по закону

{m = m_{0} \cdot 2}^{- \frac{t}{T}}

где m₀ — начальная масса изотопа в мг, t — время, прошедшее от начального момента в минутах, T — период полураспада в минутах. В начальный момент времени масса изотопа 200 мг. Период его полураспада составляет 2 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 25 мг.

Ответ:

Смешав 45%-ный и 97%-ный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-ный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-ного раствора той же кислоты, то получили бы 72%-ный раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-ного раствора использовали для получения смеси?

Ответ:

На рисунке изображён график функции вида f (x) = log_a x. Найдите значение f (25).

$На рисунке изображён график функции вида f (x)...$

Ответ:

Найдите точку максимума функции y = (x + 8)² · e^{3 − x}.

Ответ:

Часть 2

а) Найдите все корни уравнения
log₂(x² − 2x) = 3.

Ответ:

х₁ =
х₂ =

б) Укажите корень этого уравнения, принадлежащий отрезку [log₂ 0,1; log₂ 13] .

Ответ:

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ со стороной 7. На стороне BB₁ отмечена точка K такая, что BK = 5. Через точки K и C₁ проходит плоскость α, параллельная прямой BD₁.

а) Докажите, что A₁P : BP₁ = 3 : 2, если P — точка пересечения α с прямой A₁B₁ (выберите суждения, которые могут помочь в доказательстве).

Ответ:

1) В равнобедренном треугольнике медиана является биссектрисой и высотой.
2) Используем признаки подобия треугольников.
3) Применим теорему о пропорциональных отрезках.
4) Если у двух прямоугольных треугольников равны один катет и гипотенуза, то они равны.
5) Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
6) Применим теорему Пифагора.

б) Найдите меньший из отрезков, на которые плоскость α делит диагональ B₁D.

Ответ:

Решите неравенство $\frac{{2log}_{8} (x^{2} - 3 x)}{\log_{8} x^{2}} ⩽ 1$ .

Ответ:

Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вкладчик пополняет вклад на 3 млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 5 млн рублей.

Ответ:

млн руб.

Дан ромб ABCD. Точки K и P — середины сторон DC и BC соответственно. Проведены AK и AP таким образом, что они пересекают диагональ BD в точках T и Q соответственно.

а) Докажите, что сумма площадей треугольников DKT и QBP равна площади треугольника AQT (выберите пункты, которые могут помочь в доказательстве).

Ответ:

1) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам
2) Воспользуемся теоремой Пифагора
3) В любом треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины
4) Стороны ромба равны и параллельны
5) Воспользуемся первым признаком подобия треугольников
6) Сумма углов ромба равна 360°

б) Известно, что в TKCPQ можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если сторона ромба равна $6 \sqrt[]{5}$ .

Ответ:

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

{\begin{matrix} \frac{(y^{2} - 7 y + x y - 4 x + 12) \sqrt[]{x - 4}}{\sqrt[]{y + 7}} = 0, \\ a = x + y . \end{matrix}

имеет единственное решение.

Ответ:

1) a ≤ 2
2) a ∈ (−3; 3)
3) a =

\sqrt[]{56}

+ 4
4) a ∈ (3; 8]
5) a ≥ 2

Для любых трёх натуральных чисел a, b и c (необязательно различных) вычисляют четвертое число d по формуле
d = a² + b² + c² − ab − bc − ac.

а) Существуют ли a, b и c, для которых d равно 19?

Ответ:

б) Существуют ли a, b и c, для которых d равно 58?

Ответ:

в) Какое наибольшее значение может принимать d, если a, b и c — двузначные числа и d делится на 4?

Ответ:

© «Учка.РФ», 2025-2026. Подготовка к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР по математике, русскому языку, физике. Тренировочные варианты ЕГЭ, ОГЭ, ВПР.
Обратная связь