Главная → Математика → ЕГЭ по математике (профильный уровень) → Вариант 4

#1104

ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Вариант 4

Часть 1

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 8, sin∠A = 0,75. Найдите длину стороны BC.

Ответ:

Даны векторы $\vec{a}$ (31; 0) и $\vec{b}$ (1; − 1). Найдите длину вектора $\vec{a}$ − 24 $\vec{b}$ .

Ответ:

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AB = 9, BC = 7, AA₁ = 6. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B₁.

$В прямоугольном параллелепипеде...$

Ответ:

В большой партии насосов в среднем на каждые 1992 исправных приходится 8 неисправных насосов. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется неисправным. Укажите ответ в процентах.

Ответ:

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система контроля забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,04. Найдите вероятность того, что выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля. Укажите ответ в процентах.

Ответ:

Найдите корень уравнения $\sqrt{4 x - 23} = 3$ .

Ответ:

Найдите значение выражения $\frac{11^{5,4}}{121^{2,2}}$ .

Ответ:

На рисунке изображён график функции y = f (x). На оси абсцисс отмечено шесть точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆. В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции f (x) положительна.

$На рисунке изображён график функции...$

Ответ:

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 744 МГц. Скорость погружения батискафа v вычисляется по формуле

v = c ⋅ $\frac{f - f_{0}}{f + f_{0}}$ ,

где c = 1500 м/с – скорость звука в воде, f₀ – частота испускаемых импульсов, f – частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 12 м/с.

Ответ:

Первый час автомобиль ехал со скоростью 120 км/ч, следующие три часа — со скоростью 105 км/ч, а затем три часа — со скоростью 65 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Ответ:

На рисунке изображён график функции вида f (x) = log_a x. Найдите значение f (125).

$На рисунке изображён график функции вида...$

Ответ:

Найдите точку минимума функции y = (0,5 − x) cos x + sin x на интервале $(0; \frac{π}{2})$ .

Ответ:

Часть 2

а) Решите уравнение log₂(x² + 2x) = 3.

Ответ:

х =
x =

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log₃0,1; log₃13].

Ответ:

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Точка O — центр грани A₁B₁C₁D₁. Сечения параллелепипеда плоскостями (AOB) и (BOC) являются прямоугольниками, AB и BC — их меньшие стороны соответственно. Известно, что AB и BC в 3 раза меньше соответственных больших сторон прямоугольников.

а) Докажите, что ABCD — квадрат (выберите суждения, которые могут помочь в доказательстве).

Ответ:

1) Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны.
2) В прямоугольном параллелепипеде боковые ребра перпендикулярны основаниям.
3) В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.
4) sin ∠AOB = sin ∠BOC = 0,5.
5) Воспользуемся теоремой Пифагора.
6) Воспользуемся обратной теоремой Пифагора.

б) Найдите угол между прямой B₁C и плоскостью (BOC).

Ответ:

\arcsin \frac{\sqrt{39}}{6 \sqrt{35}}

\arccos \frac{\sqrt{39}}{6 \sqrt{35}}

\arctan \frac{\sqrt{39}}{6 \sqrt{35}}

\arcsin \frac{\sqrt{35}}{6 \sqrt{39}}

\arccos \frac{\sqrt{35}}{6 \sqrt{39}}

\arctan \frac{\sqrt{35}}{6 \sqrt{39}}

Решите неравенство $\frac{31 - 5 \cdot 2^{x}}{4^{x} - 24 \cdot 2^{x} + 128} \geq 0,25$ .

Ответ:

Зависимость количества Q в шт. при условии 0 ⩽ Q ⩽ 15000 купленного у фирмы товара от цены P в руб. за шт. выражается формулой Q = 15000 − P. Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q + 1000000 рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей при условии 0 < t < 10000 с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет PQ − 3000Q − 1000000 − tQ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна tQ рублей. Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении t общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

Ответ:

Дан ромб ABCD. На диагонали AC отмечены точки M и N так, что AM = MN = NC. Прямая BM пересекает сторону AD в точке P, а прямая BN пересекает сторону CD в точке Q.

а) Докажите, что площадь четырехугольника BPDQ равна площади треугольника ADC (выберите пункты, которые могут помочь в доказательстве).

Ответ:

1) противоположные стороны ромба параллельны
2) если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны
3)

Q C = \frac{1}{3} A B

Q C = \frac{1}{2} A B

5) все стороны ромба равны
6) медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника
7) в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов

б) Найдите BD, если известно, что $A C = 2 \sqrt{3}$ и около пятиугольника MNQDP можно описать окружность.

Ответ:

\frac{\sqrt{71}}{3}

\frac{\sqrt{73}}{3}

\frac{5 \sqrt{3}}{3}

\frac{2 \sqrt{17}}{3}

\frac{2 \sqrt{19}}{3}

\frac{2 \sqrt{21}}{3}

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений ${\begin{cases} \frac{(y^{2} - 7 y - x y + 4 x + 12) \sqrt{x + 5}}{\sqrt{5 - x}} = 0, \\ a = x + y . \end{cases}$ имеет ровно два решения.

Ответ:

1) (−7; −1]
2) (−1; 4]
3) {5}
4) [6; 8)
5) [9; 13)

Для любых трёх натуральных чисел a, b и c (необязательно различных) вычисляют четвертое число d по формуле d = a² + b² + c² − ab − bc − ac.

а) Существуют ли a, b и c, для которых d равно 19?

Ответ:

б) Существуют ли a, b и c, для которых d равно 58?

Ответ:

в) Какое наибольшее значение может принимать d, если a, b и c — двузначные числа и d делится на 4?

Ответ:

© «Учка.РФ», 2025-2026. Подготовка к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР по математике, русскому языку, физике. Тренировочные варианты ЕГЭ, ОГЭ, ВПР.
Обратная связь