Главная → Математика → ЕГЭ по математике (профильный уровень) → Вариант 5

#1105

ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Вариант 5

Часть 1

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB = 15, CD = 10. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

Ответ:

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ , $\vec{b}$ . Найдите длину вектора $\vec{a}$ + $\vec{b}$ .

$На координатной плоскости изображены векторы...$

Ответ:

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 100, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

$Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 100, проведена плоскость, параллельная боковому ребру...$

Ответ:

В сборнике билетов по географии всего 75 билетов, в трёх из них встречается вопрос о вулканах. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса о вулканах. Укажите ответ в процентах.

Ответ:

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние. Укажите ответ в процентах.

Ответ:

Решите уравнение (x − 3)³ = 125.

Ответ:

Найдите значение выражения $24 \sqrt{6} \cos \frac{π}{4} \cdot \cos \frac{11 π}{6}$ .

Ответ:

На рисунке изображен график функции y = f (x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите точку.

$На рисунке изображён график функции...$

Ответ:

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса m уменьшается по закону

{m = m_{0} \cdot 2}^{- \frac{t}{T}}

где m₀ — начальная масса изотопа в мг, t — время, прошедшее от начального момента в минутах, T — период полураспада в минутах. В начальный момент времени масса изотопа 100 мг. Период его полураспада составляет 2 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 12,5 мг.

Ответ:

Слава и Ваня выполняют одинаковый тест. Слава отвечает за час на 15 вопросов теста, а Ваня — на 24. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Слава закончил свой тест позже Вани на 105 минут. Сколько вопросов содержал тест?

Ответ:

На рисунке изображён график функции вида $f (x) = \frac{k}{x}$ . Найдите значение f (10).

$На рисунке изображён график функции вида...$

Ответ:

Найдите точку максимума функции $y = - \frac{x^{2} + 289}{x}$ .

Ответ:

Часть 2

а) Решите уравнение $6 \sin^{2} x + 5 \sin (\frac{π}{2} - x) - 2 = 0$ .

Ответ:

\pm \frac{π}{2} + 2 π k, k \in Z

\pm \frac{2 π}{3} + 2 π k, k \in Z

\pm \frac{3 π}{4} + 2 π k, k \in Z

\pm \frac{4 π}{5} + 2 π k, k \in Z

\pm \frac{5 π}{6} + 2 π k, k \in Z

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−5π; −3,5π].

Ответ:

- \frac{9 π}{2}

- \frac{14 π}{3}

- \frac{19 π}{4}

- \frac{24 π}{5}

- \frac{29 π}{6}

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Точка O — центр грани A₁B₁C₁D₁. Сечения параллелепипеда плоскостями (AOB) и (BOC) являются прямоугольниками, AB и BC — их меньшие стороны соответственно. Известно, что AB и BC в 2 раза меньше соответственных больших сторон прямоугольников.

а) Докажите, что ABCD — квадрат (выберите суждения, которые могут помочь в доказательстве).

Ответ:

1) Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны.
2) В прямоугольном параллелепипеде боковые ребра перпендикулярны основаниям.
3) В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.
4) sin ∠AOB = sin ∠BOC = 0,5.
5) Воспользуемся теоремой Пифагора.
6) Воспользуемся обратной теоремой Пифагора.

б) Найдите угол между прямой A₁C и плоскостью (BOC).

Ответ:

\arcsin \frac{\sqrt{15}}{4 \sqrt{23}}

\arccos \frac{\sqrt{15}}{4 \sqrt{23}}

\arctan \frac{\sqrt{15}}{4 \sqrt{23}}

\arcsin \frac{\sqrt{23}}{4 \sqrt{15}}

\arccos \frac{\sqrt{23}}{4 \sqrt{15}}

\arctan \frac{\sqrt{23}}{4 \sqrt{15}}

Решите неравенство
$\frac{2^{x}}{2^{x} - 8} + \frac{2^{x} + 8}{2^{x} - 4} + \frac{66}{4^{x} - 12 \cdot 2^{x} + 32} ⩽ 0$ .

Ответ:

Зависимость количества Q в шт. купленного у фирмы товара от цены P в руб. за шт. выражается формулой Q = 15000 − P, 1000 ⩽ P ⩽ 15000. Доход от продажи товара составляет PQ рублей. Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q + 5000000 рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену товара на 20%, однако её прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?

Ответ:

На стороне AB и диагонали AC квадрата ABCD отмечены точки M и N соответственно, при этом AM : MB = 1 : 10, AN : NC = 6 : 5.

а) Докажите, что точки A, M, N, D лежат на одной окружности (выберите пункты, которые могут помочь в доказательстве).

Ответ:

1) если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны
2) в квадрате все стороны попарно параллельны
3) в равнобедренном треугольнике высота является медианой
4) в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов
5) если две прямые параллельны, то накрест лежащие углы, образованные этими прямыми и секущей, равны
6) AB = AD = AN

б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей четырехугольника AMND до прямой MN, если сторона квадрата равна 132.

Ответ:

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$\frac{(a - x - 4) (a^{2} + x^{2} - 10)}{\sqrt{- 6 x - x^{2}}} = 0$
имеет ровно два различных решения.

Ответ:

1) (−3; 0)
2) (−2; 1)
3) (0; 3)
4) (1; 3)
5) (3;

\sqrt{10}

)
6) (3; 2

\sqrt{5}

)

Последовательность натуральных чисел (a_n) состоит из 400 членов. Каждый член последовательности, начиная со второго, либо вдвое больше предыдущего, либо на 98 меньше предыдущего.

а) Может ли последовательность (a_n) содержать ровно 5 различных чисел?

Ответ:

б) Чему может равняться a₁, если a₁₀₀ = 75?

Ответ:

в) Какое наименьшее значение может принимать наибольший член последовательности (a_n)?

Ответ:

© «Учка.РФ», 2025-2026. Подготовка к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР по математике, русскому языку, физике. Тренировочные варианты ЕГЭ, ОГЭ, ВПР.
Обратная связь