Главная → Математика → ЕГЭ по математике (профильный уровень) → Вариант 6

#1106

ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Вариант 6

Часть 1

В треугольнике ABC DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 24. Найдите площадь треугольника ABC.

Ответ:

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ , $\vec{b}$ . Найдите длину вектора $2 \vec{a}$ − $\vec{b}$ .

$На координатной плоскости изображены векторы...$

Ответ:

Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 7. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A₁, B₁.

$Дана правильная четырёхугольная призма...$

Ответ:

В классе 26 учащихся, среди них два друга — Сергей и Андрей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Сергей и Андрей окажутся в одной группе. Укажите ответ в процентах.

Ответ:

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Квант» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх команда «Квант» начнёт игру с мячом ровно два раза. Укажите ответ в процентах.

Ответ:

Решите уравнение ${(\frac{1}{6})}^{x - 2} = 6^{x}$ .

Ответ:

Найдите значение выражения $\frac{3 \sin 68 °}{\cos 34 ° \cdot \cos 56 °}$ .

Ответ:

На рисунке изображён график y = F (x) одной из первообразных некоторой функции f (x) и отмечены десять точек на оси абсцисс:
x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉, x₁₀. В скольких из этих точек функция f (x) отрицательна?

$На рисунке изображён график...$

Ответ:

Небольшой мячик бросают под острым углом α к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полёта мячика H (в м) вычисляется по формуле $H = \frac{{v_{0}}^{2}}{4 g} (1 - cos α)$ , где $v_{0}$ = 26 м/с — начальная скорость мячика, а g — ускорение свободного падения (считайте 10 м/c²). При каком наименьшем значении угла α мячик пролетит над стеной высотой 7,45 м на расстоянии 1 м? Ответ дайте в градусах.

Ответ:

°.

Заказ на 140 деталей первый рабочий выполняет на 4 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 4 детали больше?

Ответ:

На рисунке изображён график функции вида $f (x) = a^{x}$ . Найдите значение f (2).

$На рисунке изображён график функции вида...$

Ответ:

Найдите наибольшее значение функции $y = 6 + 12 x - 4 x \sqrt{x}$ на отрезке [2; 11].

Ответ:

Часть 2

а) Решите уравнение $cos 2 x - 5 \sqrt{2} cos x - 5 = 0$ .

Ответ:

\pm \frac{3 π}{2} + 2 π k, k \in Z

\pm \frac{3 π}{4} + 2 π k, k \in Z

\pm \frac{3 π}{8} + 2 π k, k \in Z

\pm \frac{3 π}{16} + 2 π k, k \in Z

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[- 3 π; - \frac{3 π}{2}]$ .

Ответ:

- \frac{5 π}{2}

- \frac{11 π}{4}

- \frac{23 π}{8}

- \frac{47 π}{16}

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах AB, CD и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = DN = 4 и AK = 3.

а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны (выберите суждения, которые могут помочь в доказательстве).

Ответ:

1) В правильной четырёхугольной пирамиде все стороны основания равны, так как основание — квадрат.
2) MN и BC параллельны как стороны прямоугольника.
3) В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.
4) AM : AB = AK : AS.
5) Воспользуемся теоремой Пифагора.
6) Воспользуемся обратной теоремой Пифагора.

б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.

Ответ:

\frac{12 \sqrt{3}}{3}

\frac{12 \sqrt{5}}{5}

\frac{12 \sqrt{7}}{7}

\frac{15 \sqrt{3}}{3}

\frac{15 \sqrt{5}}{5}

\frac{15 \sqrt{7}}{7}

Решите неравенство
x²log₂₄₃(4 − x) ≤ log₃(x² − 8x + 16).

Ответ:

1) (−∞; −

\sqrt{10}

]
2) [−

\sqrt{10}

; 3]
3) [3;

\sqrt{10}

]
4) [

\sqrt{10}

; 4)
5) {4}
6) (4; +∞)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 14 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 3,85 млн рублей? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся). Ответ выразите в миллионах рублей (млн руб.).

Ответ:

млн руб.

Две окружности с центром O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B, причём точки O₁ и O₂ лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжение диаметра CA первой окружности и хорды CB этой же окружности пересекает вторую окружность в точках D и E соответственно.

а) Докажите, что треугольники CBD и O₁AO₂ подобны.

Ответ:

1) если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны
2) ∠AO₂O₁ =

\frac{∠ A O_{2} B}{2}

3) ∠AO₁O₂ = ∠ACB
4) в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов
5) длина хорды окружности L = 2r × sin(α/2)
6) AB ⊥ O₁O₂

б) Найти AD, если ∠DAE = ∠BAC, радиус второй окружности в четыре раза больше радиуса первой и AB = 2.

Ответ:

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

2x − y + a = 0
2|y| − x² + 2x = 0

имеет два решения.

Ответ:

1) (−∞; −4,5)
2) {−4,5}
3) (−4,5; −4)
4) {−4}
5) (−4; 0)
6) [0; ½]
7) (½; +∞)

Последовательность (a_n) состоит из 100 натуральных чисел. Каждый следующий член последовательности, начиная со второго, либо вдвое меньше предыдущего, либо больше него на 90.

а) Может ли такая последовательность быть образована ровно четырьмя различными числами?

Ответ:

б) Чему может быть равно а₁₀₀, если a₁ = 89?

Ответ:

в) Какое наименьшее значение может принимать самое большое из чисел в такой последовательности?

Ответ:

© «Учка.РФ», 2025-2026. Подготовка к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР по математике, русскому языку, физике. Тренировочные варианты ЕГЭ, ОГЭ, ВПР.
Обратная связь