Главная → Математика → ЕГЭ по математике (профильный уровень) → Вариант 7

#1107

ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Вариант 7

Часть 1

Стороны параллелограмма равны 24 и 26. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 13. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

Ответ:

Даны векторы $\vec{a}$ (1; 1) и $\vec{b}$ (0; 7). Найдите длину вектора 5 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ .

Ответ:

Во сколько раз увеличился объем конуса, если радиус основания увеличить в 12 раз, а высоту оставить прежней?

Ответ:

в раз(а).

Фабрика выпускает сумки. В среднем 15 сумок из 150 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

Ответ:

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при выстреле равна 0,4. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,6?

Ответ:

Найдите корень уравнения $\sqrt[]{4 x + 32} = 8$ .

Ответ:

Найдите значение выражения $\frac{3^{7,5} \cdot 4^{6,5}}{12^{5,5}}$ .

Ответ:

На рисунке изображён график y = f ( x ). На оси абсцисс отмечено двенадцать точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉, x₁₀, x₁₁, x₁₂. В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции f ( x ) отрицательна.

$На рисунке изображён график...$

Ответ:

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_{0}$ = 140 Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \frac{c + u}{c - v}$ (Гц), где c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u = 14 м/с и v = 10 м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике f будет ровно 150 Гц?

Ответ:

Первые 3 часа автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующий час — со скоростью 65 км/ч, а затем ещё час — со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Ответ:

На рисунке изображён график функции вида f (x) = log_a x. Найдите значение f (64).

$На рисунке изображён график функции вида f (x)...$

Ответ:

Найдите точку максимума функции y = 0,5x² − 21x + 110 ln x + 43.

Ответ:

Часть 2

а) Решите уравнение 6 log²₈ x − 5 log₈ x + 1 = 0.

Ответ:

\sqrt{2}

2

2 \sqrt{2}

3 \sqrt{2}

\sqrt{3}

3

2 \sqrt{3}

3 \sqrt{3}

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [1; 2,5].

Ответ:

\sqrt{2}

2

2 \sqrt{2}

3 \sqrt{2}

\sqrt{3}

3

2 \sqrt{3}

3 \sqrt{3}

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на ребрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что AM = 5MA₁, A₁K = KB₁. Через точки M и K провели плоскость α перпендикулярно плоскости ABB₁.

а) Докажите, что плоскость α проходит через вершину C₁ (выберите суждения, которые могут помочь в доказательстве).

Ответ:

1) в равностороннем треугольнике медиана является биссектрисой
2) в равностороннем треугольнике медиана является высотой
3) боковые ребра призмы ABCA₁B₁C₁ являются ее высотами
4) MK ⊥ BB₁
5) KC₁ ⊥ AA₁
6) применим теорему Пифагора

б) Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью α, если все ребра призмы равны 12.

Ответ:

12 \sqrt[]{7}

16 \sqrt[]{7}

9 \sqrt[]{15}

10 \sqrt[]{15}

6 \sqrt[]{30}

8 \sqrt[]{30}

Решите неравенство $\frac{117 - 15 \cdot 3^{x}}{9^{x} - 36 \cdot 3^{x} + 243} \geq 0,5$ .

Ответ:

Зависимость количества Q в шт. при условии 0 ⩽ Q ⩽ 12000 купленного у фирмы товара от цены P в руб. за шт. выражается формулой Q = 12000 − P. Затраты на производство Q единиц товара составляют 5Q² рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей при условии 0 < t < 11000 с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет PQ − 5Q² − tQ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна tQ рублей.

Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении t общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

Ответ:

Дан ромб ABCD. На диагонали AC отмечены точки M и N так, что AM = MN = NC. Прямая BM пересекает сторону AD в точке P, а прямая BN пересекает сторону CD в точке Q.

а) Докажите, что площадь четырехугольника BPDQ равна площади треугольника ADC (выберите пункты, которые могут помочь в доказательстве).

Ответ:

1) противоположные стороны ромба параллельны
2) если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны
3)

Q C = \frac{1}{3} A B

Q C = \frac{1}{2} A B

5) все стороны ромба равны
6) медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника
7) в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов

б) Найдите BD, если известно, что $A C = 2 \sqrt{5}$ и в пятиугольник MNQDP можно вписать окружность.

Ответ:

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений ${\begin{cases} \frac{(y^{2} - 4 y - x y + 2 x + 4) \sqrt{x + 4}}{\sqrt{5 - y}} = 0, \\ a = x + y . \end{cases}$ имеет единственное решение.

Ответ:

1) (−∞; −6]
2) (−∞; −4]
3) {1}
4) {2}
5) [7; +∞)
6) [8; +∞)

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно A, среднее арифметическое чисел во второй группе равно B. При этом для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.

a) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $\frac{A + B}{2}$ .

Ответ:

б) Возможно ли разбить исходные числа на две группы по 15 чисел таким образом, чтобы среднее арифметическое всех чисел не было равно $\frac{A + B}{2}$ . Докажите возможность/невозможность этого.

Ответ:

в) Найдите наибольшее возможное значение выражения $\frac{A + B}{2}$ . Ответ запишите несократимой дробью. Для записи дробного числа используйте слэш (/).

Ответ:

© «Учка.РФ», 2025-2026. Подготовка к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР по математике, русскому языку, физике. Тренировочные варианты ЕГЭ, ОГЭ, ВПР.
Обратная связь