Главная → Математика → ЕГЭ по математике (профильный уровень) → Вариант 8

#1108

ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Вариант 8

Часть 1

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 103°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

$Четырёхугольник ABCD вписан в окружность...$

Ответ:

Даны векторы $\vec{a}$ (2; 0) и $\vec{b}$ (1; 4). Найдите длину вектора $\vec{a}$ + 3 $\vec{b}$ .

Ответ:

Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.

$Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире...$

Ответ:

В группе туристов 50 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 5 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист В., входящий в состав группы, полетит первым рейсом вертолёта.

Ответ:

В коробке 5 синих, 9 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

Ответ:

Найдите корень уравнения ${(\frac{1}{3})}^{3 - x} = 81$ .

Ответ:

Найдите значение выражения $3 \sin \frac{13 π}{12} \cdot \cos \frac{13 π}{12}$ .

Ответ:

На рисунке изображён график y = f '( x ) — производной функции f ( x ), определённой на интервале (−12; 12). Найдите количество точек максимума функции f ( x ), принадлежащих отрезку [−6; 11].

$На рисунке изображён график...$

Ответ:

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a (в км/ч²). Скорость v (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2 l a}$ , где l — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,5 км, развить скорость 70 км/ч. Ответ дайте в км/ч².

Ответ:

От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 323 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 2 часа после этого следом за ним со скоростью на 2 км/ч больше отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт B он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.

Ответ:

На рисунке изображён график функции вида $f (x) = \frac{k}{x}$ . Найдите значение f (30).

$На рисунке изображён график функции вида f (x)...$

Ответ:

Найдите точку максимума функции y = 9 ⋅ ln (x − 4) − 9x − 7.

Ответ:

Часть 2

а) Решите уравнение $2 \sin^{3} x = \sqrt{2} \cos^{2} x + 2 \sin x$ .

Ответ:

- \frac{3 π}{4} + 2 π k, k \in Z

- \frac{π}{4} + 2 π k, k \in Z

\frac{π}{4} + 2 π k, k \in Z

\frac{π}{2} + π k, k \in Z

\frac{3 π}{4} + 2 π k, k \in Z

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[- 4 π; - \frac{5 π}{2}]$ .

Ответ:

- \frac{15 π}{4}

- \frac{7 π}{2}

- \frac{13 π}{4}

- \frac{11 π}{4}

- \frac{5 π}{2}

В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K.

а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD (выберите суждения, которые могут помочь в доказательстве).

Ответ:

1) применим теорему Пифагора
2) в равнобедренном треугольнике медиана является биссектрисой
3) в равнобедренном треугольнике медиана является высотой
4) AN = BN = AB
5) AN = BN
6) MC = MD = CD
7) MC = MD

б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если известно, что BK = 1, KC = 3.

Ответ:

Решите неравенство $\frac{\log_{2} (2 - x) - \log_{2} (x + 1)}{\log_{2}^{2} x^{2} + \log_{2} x^{4} + 1} \geq 0$ .

Ответ:

(−∞; - 1)

{- 1}

(−1; - \frac{\sqrt{2}}{2})

{- \frac{\sqrt{2}}{2}}

(- \frac{\sqrt{2}}{2}; 0)

(0; \frac{1}{2}]

(\frac{1}{2}; +∞)

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму A млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равно A, если общая сумма платежей в 2028 году составит 17 925 тыс. рублей?

Ответ:

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что AB = CD = 3, BC = DE = 4.

а) Докажите, что AC = CE.

Ответ:

1) в окружности вписанные углы, опирающиеся на равные хорды, равны
2) диагонали ромба взаимно перпендикулярны
3) в равнобедренной трапеции диагонали равны
4) точка пересечения диагоналей ромба делит их пополам
5) свойство медианы прямоугольного треугольника

б) Найдите длину диагонали BE, если AD = 6. Представьте результат в виде несократимой обыкновенной дроби. Для записи дробного числа в ответе используйте слэш (/).

Ответ:

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений ${\begin{cases} (x^{2} - 5 x - y + 3) \cdot \sqrt{x - y + 3} = 0 \\ y = 3 x + a \end{cases}$ имеет ровно два различных решения.

Ответ:

1) (−∞; −13)
2) {−13}
3) (−13; −9)
4) {−9}
5) (−9; 3)
6) {3}
7) (3; +∞)

Из пары натуральных чисел (a; b), где a > b, за один ход получают пару (a + b; a − b).

а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100; 1) пару, большее число в которой равно 400?

Ответ:

б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100; 1) пару (806; 788)?

Ответ:

в) Какое наименьшее a может быть в паре (a; b), из которой за несколько ходов можно получить пару (806; 788)?

Ответ:

© «Учка.РФ», 2025-2026. Подготовка к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР по математике, русскому языку, физике. Тренировочные варианты ЕГЭ, ОГЭ, ВПР.
Обратная связь