Главная → Математика → ЕГЭ по математике (профильный уровень) → Вариант 9

#1109

ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Вариант 9

Часть 1

Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 65°. Найдите величину угла между высотой CH и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла C. Ответ дайте в градусах.

$Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 65°. Найдите величину угла между высотой CH и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла C.$

Ответ:

Даны векторы $\vec{a}$ (5; 4) и $\vec{b}$ (8; −9). Найдите скалярное произведение $\vec{a}$ ⋅ $\vec{b}$ .

Ответ:

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 4 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

$В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает...$

Ответ:

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19 включительно.

Ответ:

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что её масса окажется меньше 810 г, равна 0,95. Вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, равна 0,84. Найдите вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, но меньше 810 г.

Ответ:

Найдите корень уравнения $\sqrt[]{44 - 5 x} = 3$ .

Ответ:

Найдите значение выражения $\frac{\log_{7} 32}{\log_{7} 2}$ .

Ответ:

На рисунке изображён график y = f '( x ) производной функции f ( x ). На оси абсцисс отмечено десять точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉, x₁₀. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции f ( x )?

$На рисунке изображён график...$

Ответ:

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью v₀ = 90 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a = 16 км/ч². Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле S = v₀t + $\frac{a t^{2}}{2}$ , где t — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 72 км. Ответ дайте в минутах.

Ответ:

Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 104 литра она заполняет на 5 минут дольше, чем вторая труба?

Ответ:

На рисунке изображены графики функций f ( x ) = ax² + bx + c и g( x ) = kx, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

$На рисунке изображены графики функций...$

Ответ:

Найдите точку минимума функции $y = - \frac{x}{x^{2} + 256}$ .

Ответ:

Часть 2

а) Решите уравнение $2 + 2 \cos (π - 2 x) + \sqrt{8} \sin x = \sqrt{6} + \sqrt{12} \sin x$ .

Ответ:

- \frac{3 π}{4} + 2 π k, k \in Z

- \frac{2 π}{3} + 2 π k, k \in Z

- \frac{π}{3} + 2 π k, k \in Z

- \frac{π}{4} + 2 π k, k \in Z

\frac{π}{4} + 2 π k, k \in Z

\frac{π}{3} + 2 π k, k \in Z

\frac{2 π}{3} + 2 π k, k \in Z

\frac{3 π}{4} + 2 π k, k \in Z

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3 π; \frac{9 π}{2}]$ .

Ответ:

\frac{13 π}{4}

\frac{15 π}{4}

\frac{17 π}{4}

\frac{11 π}{3}

\frac{13 π}{3}

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD через ребро AB провели плоскость α, образующую сечение ABMN, где точки M и N — точки пересечения плоскости α с боковыми рёбрами SC и SD соответственно. Известно, что AB = BM = AN = 5MN.

а) Докажите, что точки M и N делят рёбра SC и SD в отношении 1: 4, считая от вершины S (выберите суждения, которые могут помочь в доказательстве).

Ответ:

1) применим теорему Пифагора
2) плоскость α параллельна прямой CD
3) в равнобедренном треугольнике медиана является высотой
4) MN || CD
5) треугольники MSN и CSD равны
6) треугольники MSN и CSD подобны

б) Найдите косинус угла между плоскостью основания ABCD и плоскостью α.

Ответ:

\frac{\sqrt{15}}{5}

\frac{3 \sqrt{2}}{6}

\frac{\sqrt{21}}{7}

\frac{2 \sqrt{6}}{8}

\frac{3 \sqrt{3}}{9}

Решите неравенство $\frac{27^{x} - 9^{x + 1} + 3^{x + 3} - 27}{50 x^{2} - 110 x + 60,5} \geq 0$ .

Ответ:

(−∞; 1)

{1}

(1; 1,1)

{1,1}

(1,1; +∞)

Иван является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производится абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара.

За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Иван платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 200 рублей.

Иван готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Ответ:

В параллелограмме ABCD с острым углом BAD из вершины B проведены высоты BP и BQ, причём точка P лежит на стороне AD, а точка Q — на стороне CD. На стороне AD отмечена точка M. Известно, что AM = BP, AB = BQ.

а) Докажите, что BM = PQ.

Ответ:

1) используем первый признак подобия треугольников
2) используем первый признак равенства треугольников
3) используем теорему Пифагора
4) используем свойство медианы прямоугольного треугольника

б) Найдите площадь треугольника APQ, если AM = BP = 8, AB = BQ = 10.

Ответ:

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(|x − a²| + |x + 1|)² − 7(|x − a²| + |x + 1|) + 4a² + 4 = 0
имеет ровно два различных корня.

Ответ:

a = - \frac{\sqrt{33}}{4}

a > \sqrt{2}

a > \sqrt{3}

- \sqrt{2} < a < \sqrt{2}

- \sqrt{3} < a < \sqrt{3}

a = \frac{\sqrt{33}}{4}

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел из записанных является целым числом.

а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 403 и 2013?

Ответ:

б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 403?

Ответ:

в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат натурального числа n, большего 1. Найдите наименьшее возможное значение n.

Ответ:

© «Учка.РФ», 2025-2026. Подготовка к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР по математике, русскому языку, физике. Тренировочные варианты ЕГЭ, ОГЭ, ВПР.
Обратная связь